Матриця – Це математичний об'єкт, що складається з прямокутного масиву чисел, упорядкованих у визначеному порядку. Рішення системи лінійних рівнянь за допомогою матриць – один із основних методів у лінійній алгебрі. У цьому методі матриця рівнянь наводиться до ступінчастого вигляду, а потім перебувають значення змінних. Проте чи всі системи рівнянь мають рішення. У деяких випадках матриця може мати лише 1 рішення.
Коли матриця має одне рішення, це означає, що система рівнянь має єдине рішення. Це означає, що існує лише одна комбінація значень змінних, яка задовольняє всі рівняння системи. Коли матриця має 1 рішення, вона називається невиродженою матрицею.
Невироджена матриця має повний ранг, тобто число ненульових рядків у матриці дорівнює кількості змінних у системі рівнянь. Це означає, що кожна змінна в системі має унікальне значення, яке визначається тільки цим рівнянням. Якщо одне рівняння можна виразити через інші рівняння системи, то матриця буде виродженою і матиме нескінченну кількість рішень або не мати рішень взагалі.
| Ситуація | Опис |
|---|---|
| Система лінійних рівнянь | Система, що складається з кількох лінійних рівнянь |
| Коефіцієнти матриці | Числа, які стоять перед невідомими в рівняннях системи |
| Розширена матриця | Матриця, що складається з коефіцієнтів та правих частин рівнянь системи |
| Визначник матриці | Число, отримане шляхом виконання певних операцій з елементами матриці |
| Ранг матриці | Максимальна кількість лінійно незалежних рядків або стовпців матриці |
| Умови існування | Для того, щоб матриця мала 1 рішення, її визначник повинен бути відмінний від нуля, а ранг матриці повинен дорівнювати кількості невідомих |
Якщо ранг матриці дорівнює рангу розширеної матриці і дорівнює числу невідомих, то система має єдине рішення.
Якщо визначник системи відмінний від нуля, то система має єдине рішення (теорема Крамера). отже, система має єдине рішення.
Однорідна система лінійних рівнянь має нетривіальне рішення тоді і тільки тоді, коли ранг матриці системи менший за кількість невідомих: r(A)=r<n.